Spazio di equilibrio e pseudo linearizzazione dei sistemi non lineari

Dec 12, 2023

Rapporti scientifici volume 12, numero articolo: 21147 (2022) Citare questo articolo

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Questo articolo tenta di estendere il concetto di punto di equilibrio a quello che viene chiamato spazio di equilibrio, che può adattarsi a un sistema in cui esiste un numero infinito di punti di equilibrio. Nel contesto del metodo di linearizzazione di Lyapunov esteso allo spazio di equilibrio, questo articolo propone una pseudo linearizzazione, dalla quale possiamo derivare una rappresentazione lineare per un sistema non lineare. Si dimostra che lo stato di equilibrio di questa pseudo linearizzazione e la sua stabilità sono gli stessi del sistema non lineare originale. Come esempio di applicabilità, la pseudo linearizzazione proposta viene applicata per derivare un modello a tempo discreto per un sistema giroscopico a momento di controllo da un modello a tempo continuo non lineare. I risultati della simulazione mostrano che il modello a tempo discreto derivato utilizzando la pseudo linearizzazione proposta produce risposte che sono più vicine a quelle del modello a tempo continuo rispetto al modello a tempo discreto derivato dal noto metodo della differenza diretta e dalla rappresentazione pseudo lineare convenzionale metodo, anche con un ampio intervallo di campionamento.

La maggior parte dei sistemi ingegneristici basati su fenomeni naturali non sono lineari. L'analisi della stabilità e la progettazione di controllori per sistemi non lineari sono questioni importanti nella teoria del controllo dei sistemi1. Tuttavia, nonostante la ricerca pionieristica in questo campo, non esiste un metodo universale per progettare sistemi di controllo non lineari2. Per studiare la stabilità dei sistemi non lineari, la teoria di Lyapunov che comprende sia il metodo diretto che il metodo di linearizzazione (o metodo indiretto) è uno degli approcci più generali e utili. Il metodo diretto viene utilizzato per studiare la stabilità globale dei sistemi non lineari utilizzando la funzione di Lyapunov; tuttavia, uno svantaggio di ciò è che non esiste un modo generale per dedurre la funzione di Lyapunov per un sistema specifico. Al contrario, il metodo di linearizzazione studia la stabilità locale attorno ad un punto di equilibrio in base alla sua approssimazione lineare, e questo è diventato uno strumento importante per progettare controllori per sistemi non lineari utilizzando le ben note teorie del controllo lineare3,4,5. Negli ultimi anni, l'operatore di Koopman e l'analisi delle contrazioni sono diventati due degli approcci più diffusi per analizzare la stabilità degli equilibri iperbolici singolarmente dei sistemi non lineari a livello globale ed esattamente attraverso la teoria dei sistemi lineari6,7.

In sistemi come un robot che si muove su un piano orizzontale senza attrito8,9 o un pendolo non sotto l'influenza della gravità10,11, in cui la posizione/angolo e la velocità sono selezionati come variabili di stato e la velocità iniziale è impostata su zero, per una posizione iniziale arbitraria, il sistema rimane nello stato iniziale per tutti i futuri istanti di tempo. Più specificamente, questi sistemi hanno un numero infinito di punti di equilibrio, indipendenti dalla posizione. Un tale insieme di equilibri non isolati è noto come varietà di equilibri12,13. Va notato che questo concetto di varietà di equilibri è diverso dalla varietà centrale di un equilibrio isolato14,15. Il metodo di linearizzazione di Lyapunov è uno strumento utile per studiare la stabilità di un singolo punto di equilibrio. Tuttavia, per i sistemi che hanno un numero infinito di punti di equilibrio, non è realistico indagare tutti i punti di equilibrio individualmente. Inoltre, gli esempi sopra menzionati sono noti come sistemi anolonomi e la linearizzazione può modificare la controllabilità del sistema non lineare originale16,17,18,19. Pertanto, anche se il sistema non lineare è controllabile, la sua linearizzazione diventa incontrollabile e irraggiungibile per la progettazione del controllore. Questo articolo tenta di estendere il concetto di punti di equilibrio a quello che viene chiamato spazio di equilibrio, che può adattarsi a sistemi che hanno un numero infinito di punti di equilibrio. Nel contesto del metodo di linearizzazione di Lyapunov, questo articolo propone la pseudo linearizzazione, dalla quale possiamo ricavare un sistema non lineare presentato dalla forma lineare20,21,22,23. I principali contributi di questo documento sono i seguenti: